Question

1．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），點(diǎn)M（x₀，y₀）為橢圓C上一點(diǎn)，點(diǎn)F₁、A₁，A₂分別是橢圓C的左焦點(diǎn)、左頂點(diǎn)，右頂點(diǎn)．滿足過M與左、右兩頂點(diǎn)A₁，A₂的連線斜率的積為-$\frac{1}{2}$且|F₁A₁|=$\sqrt{2}$-1，求橢圓方程．

Answer 1

分析 點(diǎn)M（x₀，y₀）為橢圓C上一點(diǎn)，所以滿足橢圓方程，根據(jù)斜率的積為-$\frac{1}{2}$，化簡即可．

解答 解：由題意可得，$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}=1$，$所以{y}_{0}^{2}=^{2}•\frac{{a}^{2}-{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$，所以$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}=\frac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-{a}^{2}}$=$-\frac{^{2}}{{a}^{2}}=-\frac{1}{2}$，
所以$a=\sqrt{2}b$，則$c=b，\\;a=\sqrt{2}c$$a=\sqrt{2}c$，又|F₁A₁|=a-c，所以$a=\sqrt{2}，c=b=1$，橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的性質(zhì)，直線的斜率．