Question

11．已知△ABC中，BC=2，AC=2AB，則△ABC面積的最大值為$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)AB=x，則AC=2x，根據(jù)面積公式得S_△ABC=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$x，由余弦定理求得 cosC代入化簡(jiǎn) S_△ABC=$\sqrt{\frac{16}{9}-\frac{9（{x}^{2}-\frac{20}{9}）^{2}}{16}}$，由三角形三邊關(guān)系求得$\frac{2}{3}$＜x＜2，由二次函數(shù)的性質(zhì)求得S_△ABC取得最大值．

解答 解：依題意，設(shè)AB=x，則AC=2x，又BC=2，
根據(jù)面積公式得S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BC•sinB=sinBx=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$x．
由余弦定理得：cosB=$\frac{{x}^{2}+{2}^{2}-（2x）^{2}}{2×2×x}$=$\frac{4-3{x}^{2}}{4x}$，
∴S_△ABC=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$x=$\sqrt{1-（\frac{4-3{x}^{2}}{4x}）^{2}}$x=$\sqrt{\frac{16}{9}-\frac{9（{x}^{2}-\frac{20}{9}）^{2}}{16}}$
由三角形三邊關(guān)系有：x+2x＞2且x+2＞2x，解得：$\frac{2}{3}$＜x＜2，
故當(dāng) x=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$時(shí)，S_△ABC取得最大值$\frac{4}{3}$．
故答案為：$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦定理和面積公式在解三角形中的應(yīng)用．當(dāng)涉及最值問(wèn)題時(shí)，可考慮用函數(shù)的單調(diào)性和定義域等問(wèn)題，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．