Question

19．如圖所示，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)面SDC⊥底面ABCD，且AB=2，SC=SD=$\sqrt{2}$．
（1）求證：平面SAD⊥平面SBC；
（2）若BC=2，求點A到平面SBD的距離h的值．

Answer 1

分析 （1）證明：AD⊥SC，SA⊥SC，可得SC⊥平面SAD，即可證明平面SAD⊥平面SBC；
（2）利用等體積方法求點A到平面SBD的距離h的值．

解答 （1）證明：側(cè)面SDC⊥底面ABCD，有AD⊥SC，AD⊥SD
故△ADS為Rt△，有SD²+AD²=SA²
且AD=BC，SD=$\sqrt{2}$，故2+BC²=SA²
即BC²=SA²-2
連接AC，易得AC²=BC²+AB²=BC²+4
即BC²=AC²-4
那么SA²-2=AC²-4，整理后有AC²=SA²+2
又SC=$\sqrt{2}$，故AC²=SA²+SC²
所以△ASC為Rt△，有SA⊥SC
所以SC⊥平面SAD，那么平面SBC⊥平面SAD；
（2）解：由題意，BC⊥SC，SB=$\sqrt{6}$，DB=2$\sqrt{2}$，
∴DB²=SD²+SB²，∴SB⊥SD，
∴S_△SBD=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{6}$=$\sqrt{3}$．
由等體積可得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×1=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×h$，∴h=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
即點A到平面SBD的距離h的值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查線面垂直的判定，考查平面與平面垂直的判定與性質(zhì)，考查等體積方法的運用，屬于中檔題．