Question

10．設(shè)f（x）=asin 2x+bcos 2x，其中a，b∈R，ab≠0．若f（x）≤|f（$\frac{π}{6}$）|對(duì)一切x∈R恒成立，則以下結(jié)論正確的是①②④（寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）．
①$f（\frac{5π}{12}）=0$；
②$|{f（\frac{7π}{12}）}$|≥$|{f（\frac{π}{3}）}$|；
③f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$）（k∈Z）；
④f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．

Answer 1

分析 利用輔助角公式化簡(jiǎn)f（x），根據(jù)f（x）≤|f（$\frac{π}{6}$）|可得，a，b的值．然后對(duì)個(gè)結(jié)論依次判斷即可．

解答 解：由f（x）=asin 2x+bcos 2x=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin（2x+φ）．
∵f（x）≤|f（$\frac{π}{6}$）|對(duì)一切x∈R恒成立
∴當(dāng)x=$\frac{π}{6}$時(shí)，函數(shù)取得最大值，即2×$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$，解得：φ=$\frac{π}{6}$．
故得f（x）=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
則f（$\frac{5π}{12}$）=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin（2×$\frac{5π}{12}$+$\frac{π}{6}$）=0，∴①對(duì)．
②f（$\frac{7π}{12}$）=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin（2×$\frac{7π}{12}$+$\frac{π}{6}$）=$-\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$
f（$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin（2×$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，∴$|{f（\frac{7π}{12}）}$|≥$|{f（\frac{π}{3}）}$|，∴②對(duì)．
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x+$\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$，（k∈Z）
解得：$-\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，（k∈Z）
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（kπ$-\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$）（k∈Z）；∴③不對(duì)
f（x）的對(duì)稱軸2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+kπ，（k∈Z）；∴③
解得：x=$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{6}$，不是偶函數(shù)，
當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=$\frac{1}{2}$，不關(guān)于（0，0）對(duì)稱，
∴f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．
故答案為①②④．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，f（x）≤|f（$\frac{π}{6}$）|對(duì)一切x∈R恒成立，確定φ的一個(gè)值時(shí)解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．