Question

10．給出如下四個命題：①e${\;}^{\frac{2}{e}}$＞2②ln2＞$\frac{2}{3}$③π²＜3^π④$\frac{ln2}{2}$＜$\frac{lnπ}{π}$，正確的命題的個數(shù)為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①利用分析法和構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值得關(guān)系即可判斷，②根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)即可判斷，③利用中間量即可判斷，④兩邊取對數(shù)即可判斷．

解答 解：①要證e${\;}^{\frac{2}{e}}$＞2，只要證$\frac{2}{e}$＞ln2，即2＞eln2，
設(shè)f（x）=elnx-x，x＞0，
∴f′（x）=$\frac{e}{x}$-1=$\frac{e-x}{x}$，
當(dāng)0＜x＜e時，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)x＞e時，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴f（x）＜f（e）=elne-e=0，
∴f（2）=eln2-2＜0，
即2＞eln2，
∴e${\;}^{\frac{2}{e}}$＞2，因此正確
②∵3ln2=ln8＞ln2.8²＞lne²=2．∴l(xiāng)n2＞$\frac{2}{3}$，因此正確，
③π²＜4²=16，3^π＞3³=27，因此π²＜3^π，③正確，
④∵2^π＜π²，∴$\frac{ln2}{2}$＜$\frac{lnπ}{π}$，④正確；
正確的命題的個數(shù)為4個，
故選：D．

點評 本題考查了不等式的解法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．