Question

7．在ABC中，a、b、c分別是角A，B，C的對邊，c=2，sin²A+sin²B-sin²C=sinAsinB
（Ⅰ）求角C的取值；
（Ⅱ）若sinC+sin（B-A）=2sin2A，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理化簡已知的式子，由余弦定理求出cosC，由C的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出C；
（Ⅱ）由誘導公式、兩角和與差的正弦公式化簡已知的式子，對cosA分類討論，分別求出其它的邊角，由三角形的面積公式求出△ABC的面積．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，∵sin²A+sin²B-sin²C=sinAsinB，
∴由正弦定理得a²+b²-c²=ab-------2，
由余弦定理得$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{1}{2}$------4，
由0＜C＜π得$C=\frac{π}{3}$-------5；
（Ⅱ）∵sinC+sin（B-A）=2sin（2A），
∴sin（A+B）+sin（B-A）=4sinAcosA------7
∴2sinBcosA=4sinAcosA，則cosA（sinB-2sinA）=0------8，
$當cosA=0時，A=\frac{π}{2}，c=2，C=\frac{π}{3}$，${S_{△ABC}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$-----9
當cosA≠0時，sinB=2sinA，即b=2a，∴a²+4a²-4=2a²，得${a^2}=\frac{4}{3}$，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}×2{a^2}sin\frac{π}{3}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$-----11，
綜上可得，${S}_{△ABC}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$．------12

點評 本題考查正弦定理、余弦定理的綜合應用，以及誘導公式、兩角和與差的正弦公式，屬于中檔題．