Question

已知雙曲線

x2

6

-

y2

2

=1上任一點(diǎn)M（x₀，y₀），設(shè)M關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)為M₁，雙曲線的左右頂點(diǎn)分別為A₁，A₂．
（Ⅰ）求直線A₁M與直線A₁M₁的交點(diǎn)P的軌跡C的方程．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)F（-2，0），T為直線x=-3上任意一點(diǎn)，過(guò)F作直線l⊥TF交（I）中軌跡C于P、Q兩點(diǎn)，①證明：OT經(jīng)過(guò)線段PQ中點(diǎn)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）：②當(dāng)

|TF|

|PQ|

最小時(shí)，求點(diǎn)T的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）求出A₁（-

6

，0），A₂（

6

，0），點(diǎn)M（x₀，y₀），聯(lián)立直線A₁M方程y=

y0

x0+ 6

（x+

6

），
線A₂M₁的方程是y=

-y0

x0- 6

（x-

6

），

x 2 0

6

-

y 2 0

2

=1，化簡(jiǎn)即可得出軌跡方程．
（2）聯(lián)立方程組

x=my-2 x2 6 + y2 2 =1

，即（m²+3）y²-4my-2=0，根據(jù)韋達(dá)定理求出中點(diǎn)坐標(biāo)的，在求出斜率，即可判斷：OT經(jīng)過(guò)線段PQ中點(diǎn)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）
②根據(jù)題意得出

|TF|

|PQ|

=

1 24 (m2+1+ 4 m2+1 +4)

，再根據(jù)不等式求解得出最小值，判斷出等號(hào)成立的條件．即可得出T點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答： 解：（1）雙曲線的左右頂點(diǎn)分別為A₁（-

6

，0），A₂（

6

，0），點(diǎn)M（x₀，y₀），
設(shè)M關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)為M₁（x₀，-y₀）
直線A₁M方程是y=

y0

x0+ 6

（x+

6

），①
線A₂M₁的方程是y=

-y0

x0- 6

（x-

6

），②

x 2 0

6

-

y 2 0

2

=1，③
所以3個(gè)方程化簡(jiǎn)得交點(diǎn)P的軌跡C的方程：

x2

6

+

y2

2

=1

（2）（2）①F₁（-2，0），T為（-3，m），
直線PQ方程：x=my-2，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），聯(lián)立方程組

x=my-2 x2 6 + y2 2 =1

，
即（m²+3）y²-4my-2=0，
△=16m²+8（m²+3）＞0，
∵y₁+y₂=

4m

m2+3

，y₁y₂=

-2

m2+3

，
∴x₁+x₂=m（y₁+y₂）-4=-

12

m2+3

，
∵線段PQ中點(diǎn)M（-

6

M2+3

，

2m

m2+3

），
k_OM=-

m

3

∵T（-3，m），k_0T=-

m

3

，
∴OT經(jīng)過(guò)線段PQ中點(diǎn)M
②|TF|=

m2+1

，|PQ|=

m2+1

(y1+y2)2-4y1y2

=

24 (m2+1)

m2+3

|TF|

|PQ|

=

1 24 (m2+1+ 4 m2+1 +4)

≥

3

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)m²+1=

4

m2+1

，m=±1，等號(hào)成立．
此時(shí)

|TF|

|PQ|

最小，T（-3，1）或T（-3，-1）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考察了直線，拋物線，雙曲線的方程，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理，不等式，難度較大．