Question

20．如圖1，在矩形ABCD中，AB=8，AD=3，點E、F分別為AB、CD的中點，將四邊形AEFD沿EF折到A₁EFD₁的位置，使∠A₁EB=120°，如圖2所示，點G，H分別在A₁B，D₁C上，A₁G=D₁H=$\sqrt{3}$，過點G，H的平面α與幾何體A₁EB-D₁FC的面相交，交線圍成一個正方形．
（1）在圖中畫出這個正方形（不必說明畫法和理由）；
（2）求直線EH與平面α所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）在BE或A_1•E上取一點M，使得GM=GH=3，求出M點的位置即可作出截面圖形；
（2）過E作出截面α的垂線，作出要求角，在直角三角形中計算余弦值．

解答 解：（1）由題意可知A₁E=BE=4，GH=A₁D₁=3，
在△A₁BE中，由余弦定理得A₁B=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}-2×4×4×cos120°}$=4$\sqrt{3}$，
設平面α與幾何體的截面正方形為GHNM，則GM=3，
若M在棱BE上，設BM=x，則由余弦定理得cos30°=$\frac{（3\sqrt{3}）^{2}+{x}^{2}-9}{2•3\sqrt{3}•x}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得x=3，
若M在棱A₁E上，設A₁M=x，則由余弦定理得cos30°=$\frac{3+{x}^{2}-9}{2•\sqrt{3}•x}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得x=9（舍）．
過M作MN∥EF交CF于N，連接GH，MN，GM，HN，
則正方形GHNM即為要作的正方形．
（2）過E作EP⊥GM，垂足為P，連接HP，
∵EF⊥A₁E，EF⊥BE，A₁E∩BE=E，
∴EF⊥平面A₁BE，
∵A₁G=D₁H，∴GH∥EF，
∴GH⊥平面A₁BE，又EP?平面A₁BE，
∴EP⊥GH，又GH∩GM=G，GH?平面GHNM，GM?平面GHNM，
∴EP⊥平面GHNM，
∴∠EHP為直線EH與平面α所成的角，
由（1）可知GM∥A₁E，EM=1，
∴∠PEM=30°，∴PM=$\frac{1}{2}$，PE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴GP=$\frac{5}{2}$，PH=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{61}}{2}$，EH=$\sqrt{P{H}^{2}+P{E}^{2}}$=4，
∴cos∠EHP=$\frac{PH}{EH}$=$\frac{\sqrt{61}}{8}$．
∴直線EH與平面α所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{61}}{8}$．

點評 本題考查了線面平行的性質，線面角的計算，屬于中檔題．