Question

12．已知在一次全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，某市3000名參賽學(xué)生的初賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)如圖所示．
（1）求a的值，并估計(jì)該市學(xué)生在本次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，成績(jī)?cè)诘腫80，90）上的學(xué)生人數(shù)；
（2）若在本次考試中選取1500人入圍決賽，則進(jìn)入復(fù)賽學(xué)生的分?jǐn)?shù)應(yīng)當(dāng)如何制定（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）；
（3 ） 若以該市考生的成績(jī)情況估計(jì)全省考生的成績(jī)情況，從全省考生中隨機(jī)抽取4名考生，記成績(jī)?cè)?0分以上（含80分）的考生人數(shù)為X，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：（2a+2a+3a+6a+7a）×10=1，解得a．
（2）70+$\frac{5}{7}×（80-70）$=$\frac{540}{7}$．
（3）該市成績(jī)?cè)?0分以上（含80分）的概率P=$\frac{2a+6a}{20a}$=$\frac{2}{5}$，可得X～B$（4，\frac{2}{5}）$．即可得出X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）由題意可得：（2a+2a+3a+6a+7a）×10=1，解得a=0.005．
∴成績(jī)?cè)诘腫80，90）上的學(xué)生人數(shù)=6×0.005×10×3000=900．
（2）70+$\frac{5}{7}×（80-70）$=$\frac{540}{7}$．
初試成績(jī)大于或等于$\frac{540}{7}$的進(jìn)入決賽．
（3）該市成績(jī)?cè)?0分以上（含80分）的概率P=$\frac{2a+6a}{20a}$=$\frac{2}{5}$，∴X～B$（4，\frac{2}{5}）$．
∴P（X=k）=${∁}_{4}^{k}（\frac{2}{5}）^{k}（\frac{3}{5}）^{4-k}$，可得P（X=0）=$\frac{81}{625}$，P（X=1）=$\frac{216}{625}$，P（X=2）=$\frac{216}{625}$，P（X=3）=$\frac{96}{625}$，P（X=4）=$\frac{16}{625}$．
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{81}{625}$	$\frac{216}{625}$	$\frac{216}{625}$	$\frac{96}{625}$	$\frac{16}{625}$

∴EX=$4×\frac{2}{5}$=1.6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)分布列及其數(shù)學(xué)期望、頻率分布直方圖的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．