Question

2．某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x對年銷售額（單位：萬元）的影響，對近6年的年宣傳費(fèi)x_i和年銷售額y_i（i=1，2，…6）數(shù)據(jù)進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)宣傳費(fèi)x_i和年銷售額y_i具有線性相關(guān)關(guān)系，并對數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的一些統(tǒng)計(jì)量的值．

$\overline{x}$	$\overline{y}$	$\sum_{i=1}^{6}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}$	$\sum_{i=1}^{6}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）$
6	500	20	1300

（Ⅰ）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；
（Ⅱ）利用）（Ⅰ）中的回歸方程預(yù)測該公司如果對該產(chǎn)品的宣傳費(fèi)支出為10萬元時(shí)銷售額時(shí)n萬元，該公司計(jì)劃從10名中層管理人員中挑選出3人擔(dān)任總裁助理，10名中層管理人員中有2名是技術(shù)部骨干，記所挑選3人中技術(shù)部骨干人數(shù)為ξ，且隨機(jī)變量η=$\frac{n}{40}$+ξ，求η的概率分布列與數(shù)學(xué)期望．
附：回歸直線的傾斜率截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：
$\widehat=\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i-1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}=\overline{y}-\widehat\overline{x}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算回歸系數(shù)，寫出y關(guān)于x的回歸方程；
（Ⅱ）把x=10代入（Ⅰ）中的回歸方程計(jì)算$\stackrel{∧}{y}$即可預(yù)測結(jié)果，寫出隨機(jī)變量ξ的可能取值，計(jì)算對應(yīng)的概率值，再根據(jù)η與ξ的關(guān)系，寫出η的分布列，求出η的數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算
$\widehat=\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i-1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{1300}{20}$=65，
$\widehat{a}=\overline{y}-\widehat\overline{x}$=500-65×6=110，
∴y關(guān)于x的回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=65x+110；
（Ⅱ）把x=10代入（Ⅰ）中的回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=65×10+110=760，
預(yù)測該公司如果對該產(chǎn)品的宣傳費(fèi)支出為10萬元時(shí)銷售額為760萬元；
根據(jù)題意，隨機(jī)變量ξ的可能取值為0，1，2；
則P（ξ=0）=$\frac{{C}_{8}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{7}{15}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{8}^{2}{•C}_{2}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{7}{15}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{8}^{1}{•C}_{2}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{15}$；
且隨機(jī)變量η=$\frac{n}{40}$+ξ=19+ξ，
∴η的概率分布列為：

η	19	20	21
ξ	0	1	2
P	$\frac{7}{15}$	$\frac{7}{15}$	$\frac{1}{15}$

η數(shù)學(xué)期望Eη=19×$\frac{7}{15}$+20×$\frac{7}{15}$+21×$\frac{1}{15}$=$\frac{98}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問題，也考查了線性回歸方程的計(jì)算問題，是中檔題．