Question

10．已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為${a_n}=3-\frac{n+3}{2^n}（n∈{N_+}）$，數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為${b_n}=\frac{5n}{2n+1}$（n∈N₊）
（1）分別令n=1，2，3，4，計算a_n，b_n值，并比較a₁與b₁，a₂與b₂，a₃與b₃，a₄與b₄大��；
（2）根據(jù)（1）猜測a_n與b_n的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由已知數(shù)列通項(xiàng)公式分別求出a₁與b₁，a₂與b₂，a₃與b₃，a₄與b₄的值并比較大��；
（2）由（1）猜測，a₁＜b₁，a₂＜b₂，當(dāng)n≥3時，a_n＞b_n．然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答 解：（1）由${a_n}=3-\frac{n+3}{2^n}（n∈{N_+}）$，${b_n}=\frac{5n}{2n+1}$（n∈N₊），得
a₁=1，b₁=$\frac{5}{3}$，a₂=$\frac{7}{4}$，b₂=2，a₃=$\frac{9}{4}$，b₃=$\frac{15}{7}$，a₄=$\frac{41}{16}$，b₄=$\frac{20}{9}$．
∴a₁＜b₁，a₂＜b₂，a₃＞b₃，a₄＞b₄ ；
（2）由（1）猜測，a₁＜b₁，a₂＜b₂，當(dāng)n≥3時，a_n＞b_n．
下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=3時，由（1）知成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥3）時，a_n＞b_n成立，即$3-\frac{k+3}{{2}^{k}}$＞$\frac{5k}{2k+1}$．
整理得：2^k＞2k+1．
那么，當(dāng)n=k+1時，${a}_{k+1}=3-\frac{k+4}{{2}^{k+1}}$，$_{k+1}=\frac{5k+5}{2k+3}$．
要證a_k+1＞b_k+1成立，需要證$3-\frac{k+4}{{2}^{k+1}}$$＞\frac{5k+5}{2k+3}$成立，
即證2^k+1＞2k+3．
∵2^k+1=2•2^k＞2•（2k+1）=4k+2，
也就是證4k+2＞2k+3，
即證2k＞1，此式在k≥3時顯然成立．
綜①②所述，當(dāng)n≥3時，a_n＞b_n成立．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了利用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題，是中檔題．