Question

3．如圖在邊長(zhǎng)為4的正方形鐵皮的四角切去相等的正方形，在把它的邊沿虛線折起，做成一個(gè)無(wú)蓋的方底盒子．
問(wèn)：切去的小正方形邊長(zhǎng)為多少時(shí)，盒子容積最大？最大容積V₁是多少？

Answer 1

分析 由已知得長(zhǎng)方體容積V₁=（4-2x）²•x=4（x³-4x²+4x），（0＜x＜2），求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)切去的正方形邊長(zhǎng)為x，則焊接成的盒子的底面邊長(zhǎng)為4-2x，高為x．
所以V₁=（4-2x）²•x=4（x³-4x²+4x），（0＜x＜2）
∴V₁′=4（3x²-8x+4）．
令V₁′=0得x₁=$\frac{2}{3}$，x₂=2（舍去），
當(dāng)x＜$\frac{2}{3}$時(shí)，V₁′＞0，當(dāng)$\frac{2}{3}$＜x＜2時(shí)，V₁′＜0，
∴當(dāng)x=$\frac{2}{3}$時(shí)盒子容積最大，最大容積V₁是$\frac{128}{27}$．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決不等式、方程問(wèn)題．重點(diǎn)考查學(xué)生的代數(shù)推理論證能力．