Question

14．已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-2
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象恰有一個公共點，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （I）求導(dǎo)數(shù)，再分類討論，確定函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最小值；
（II）將函數(shù)圖象只有一個公共點轉(zhuǎn)化為方程只有一根，再分離參數(shù)，求出函數(shù)的最小值即可

解答 解：（I）令f'（x）=lnx+1=0，得$x=\frac{1}{e}$．
①當$0＜t＜\frac{1}{e}$時，函數(shù)f（x）在$（t，\frac{1}{e}）$上單調(diào)遞減，在$（\frac{1}{e}，t+2）$上單調(diào)遞增，
此時函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+2]上的最小值為$f（\frac{1}{e}）=-\frac{1}{e}$；
②當$t≥\frac{1}{e}$時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+2]上單調(diào)遞增，此時函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+2]上的最小值為f（t）=tlnt；
（II）由題意得，f（x）-g（x）=xlnx+x²-ax+2=0在（0，+∞）上有且只有一個根，
即$a=lnx+x+\frac{2}{x}$在（0，+∞）上有且只有一個根．令$h（x）=lnx+x+\frac{2}{x}$，
則$h'（x）=\frac{1}{x}+1-\frac{2}{x^2}=\frac{{{x^2}+x-2}}{x^2}=\frac{（x+2）（x-1）}{x^2}$，
易知g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以h_min（x）=h（1）=3，
由題意可知，若使y=f（x）與y=g（x）的圖象恰有一個公共點，則a=h_min（x）=3．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，綜合性強．