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3.已知函數(shù)fx=12x2+xxlnx的導(dǎo)函數(shù)為f'(x).
(Ⅰ)判斷f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)若關(guān)于x的方程f'(x)=m有兩個實(shí)數(shù)根x1,x2(x1<x2),求證:x1x222

分析 (Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(Ⅱ)欲證x1x222成立,問題轉(zhuǎn)化為證lntt1t2lnt2t122成立,即證lnt213t1t23成立,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.

解答 解:(Ⅰ)f'(x)=x+1-(1+lnx)=x-lnx(x>0),
令g(x)=x-lnx,由gx=11x=x1x(x>0),
可得g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,(1,+∞)上單調(diào)遞增,
∴f'(x)=g(x)≥g(1)=1>0,
∴f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增   …(4分)
(Ⅱ)依題意,{x1lnx1=mx2lnx2=m,相減得x1x2=lnx2x1
x2x1=t(t>1),則有x1=lntt1,x2=tlntt1
欲證x1x222成立,
只需證lntt1t2lnt2t122成立,
即證lnt32t13t2成立,
即證lnt213t1t23成立,
t13=x(x>1),只需證213x1x23lnx0成立,
Fx=213x1x23lnx(x>1),
即證x>1時,F(xiàn)(x)>0成立Fx=2131+2x33x=213x3+23x2x3,
hx=213x3+23x2(x>1),
hx=2133x26x=3x213x2(x>1),
可得h(x)在1223內(nèi)遞減,在223+內(nèi)遞增,
hxh223=0,
∴F'(x)≥0,
∴F(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,
∴F(x)>F(1)=0成立,故原不等式成立.

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想,換元思想,考查不等式的證明,是一道綜合題.

練習(xí)冊系列答案
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13.如圖,已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),點(diǎn)A,B分別是左、右頂點(diǎn),過右焦點(diǎn)F的直線MN(異于x軸)交于橢圓C于M、N兩點(diǎn).
(1)若橢圓C過點(diǎn)2433,且右準(zhǔn)線方程為x=6,求橢圓C的方程;
(2)若直線BN的斜率是直線AM斜率的2倍,求橢圓C的離心率.

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11.給出下列命題:
①函數(shù)y=cos({x-\frac{3π}{2}})是奇函數(shù);
②若α、β是第一象限角且α<β,則tanα<tanβ;
③函數(shù)y=tan({2x+\frac{π}{4}})的圖象關(guān)于點(diǎn)({-\frac{3π}{8},0})對稱;
④函數(shù)y=2sin({\frac{π}{4}-2x})+1的單調(diào)遞增區(qū)間是[{kπ-\frac{π}{8},kπ+\frac{3π}{8}}]\;({k∈Z})
其中正確的命題的個數(shù)是(  )
A.1B.2C.3D.4

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18.已知全集U=R,集合A={x|x≥-1},集合B={x|y=lg(x-2)},則A∩(∁UB)=( �。�
A.[-1,2)B.[-1,2]C.[2,+∞)D.[-1,+∞)

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8.(Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=|2x-3|-2|x|,若關(guān)于x不等式f(x)≤|a+2|+2a恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
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A.\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0B.x-\sqrt{3}y+\sqrt{3}=0C.x-\sqrt{3}y-1=0D.\sqrt{3}x-y+1=0

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