分析 (Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(Ⅱ)欲證x1x22<2成立,問題轉(zhuǎn)化為證lntt−1•t2(lnt)2(t−1)2<2成立,即證lnt<213(t−1)t23成立,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.
解答 解:(Ⅰ)f'(x)=x+1-(1+lnx)=x-lnx(x>0),
令g(x)=x-lnx,由g′(x)=1−1x=x−1x(x>0),
可得g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,(1,+∞)上單調(diào)遞增,
∴f'(x)=g(x)≥g(1)=1>0,
∴f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增 …(4分)
(Ⅱ)依題意,{x1−lnx1=mx2−lnx2=m,相減得x1−x2=lnx2x1,
令x2x1=t(t>1),則有x1=lntt−1,x2=tlntt−1,
欲證x1x22<2成立,
只需證lntt−1•t2(lnt)2(t−1)2<2成立,
即證(lnt)3<2(t−1)3t2成立,
即證lnt<213(t−1)t23成立,
令t13=x(x>1),只需證213(x−1x2)−3lnx>0成立,
令F(x)=213(x−1x2)−3lnx(x>1),
即證x>1時,F(xiàn)(x)>0成立F′(x)=213(1+2x3)−3x=213(x3+2)−3x2x3,
令h(x)=213(x3+2)−3x2(x>1),
則h′(x)=213(3x2)−6x=3x(213x−2)(x>1),
可得h(x)在(1,223)內(nèi)遞減,在(223,+∞)內(nèi)遞增,
∴h(x)≥h(223)=0,
∴F'(x)≥0,
∴F(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,
∴F(x)>F(1)=0成立,故原不等式成立.
點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想,換元思想,考查不等式的證明,是一道綜合題.
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A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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A. | [-1,2) | B. | [-1,2] | C. | [2,+∞) | D. | [-1,+∞) |
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A. | \sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0 | B. | x-\sqrt{3}y+\sqrt{3}=0 | C. | x-\sqrt{3}y-1=0 | D. | \sqrt{3}x-y+1=0 |
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