Question

11．已知關(guān)于x的方程$\frac{1}{2}$x³-3x²+$\frac{9}{2}$x+a=0，且a≥0，求該方程的解的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 設(shè)方程左邊對(duì)應(yīng)三次多項(xiàng)式函數(shù)f（x），利用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)的單調(diào)性，可得f（x）的極大值是f（1）=2+a，極小值是f（3）=a．由此分類討論即可得到各種情況下原方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)．

解答 解：設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x³-3x²+$\frac{9}{2}$x+a，
求導(dǎo)函數(shù)得f'（x）=$\frac{3}{2}$x²-6x+$\frac{9}{2}$=$\frac{3}{2}$（x-1）（x-3）
∴f'（x）=0的兩根分別為x₁=1，x₂=3
∵x＜1或x＞3時(shí)，f'（x）＞0；1＜x＜3時(shí)，f'（x）＜0
∴函數(shù)f（x）的減區(qū)間為（1，3）；增區(qū)間為（-∞，1）和（3，+∞）
因此，函數(shù)f（x）的極大值是f（1）=2+a，極小值是f（3）=a，
∴a=0時(shí)，2+a＞0，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，方程有兩個(gè)解；
a＞0時(shí)，2+a＞0，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)，方程有1個(gè)解．

點(diǎn)評(píng) 本題給出含有字母參數(shù)的三次方程，討論方程根的個(gè)數(shù)．著重考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和三次多項(xiàng)式的極值求法等知識(shí)，屬于中檔題．