Question

如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC為正三角形，AA1=AB=6，D為AC的中點．

（1）求證：直線AB1∥平面BC1D；

（2）求證：平面BC1D⊥平面ACC1A；

（3）求三棱錐C﹣BC1D的體積．

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

試題分析：

解題思路：（1）構(gòu)造三角形的中位線，得出線線平行，再利用線面平行的判定定理進行證明；（2）利用線面垂直的性質(zhì)及等邊三角形的三線合一得出線線垂直，進而利用面面垂直的判定定理進行證明；（3）合理轉(zhuǎn)化三棱錐的頂點求體積.

規(guī)律總結(jié)：證明空間中的線線、線面、面面的平行、垂直關(guān)系，關(guān)鍵合理選擇性質(zhì)定理或判定定理，進行三者之間的相互轉(zhuǎn)化，線線關(guān)系是關(guān)鍵；求幾何體的體積，要合理選擇頂點與底面，以便容易求得高與面積.

試題解析：（1）證明：連接B1C交BC1于點O，連接OD，則點O為B1C的中點．

∵D為AC中點，得DO為△AB1C中位線，∴A1B∥OD．

∴直線AB1∥平面BC1D；

（2）證明：∵AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BD，

∵底面ABC正三角形，D是AC的中點

∴BD⊥AC

∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面ACC1A1，

,;

（3）由（2）知，△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3，

∴S△BCD==，

∴VC﹣BC1D=VC1﹣BCD=••6=9.

考點：1.空間中的平行與垂直的判定；2.空間幾何體的體積.