Question

已知函數(shù)，，其中為常數(shù)， ，函數(shù)的圖象與坐標軸交點處的切線為，函數(shù)的圖象與直線交點處的切線為，且。
（Ⅰ）若對任意的，不等式成立，求實數(shù)的取值范圍.
（Ⅱ）對于函數(shù)和公共定義域內的任意實數(shù)。我們把 的值稱為兩函數(shù)在處的偏差。求證：函數(shù)和在其公共定義域的所有偏差都大于2.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.

解析試題分析：（Ⅰ）利用參數(shù)分離法將不等式問題轉化為，等價轉化為處理，于是問題的核心就是求函數(shù)，利用導數(shù)求解，但同時需要注意題中的隱含條件將的值確定下來；（Ⅱ）先確定函數(shù)與函數(shù)的解析式，然后引入函數(shù)，通過證明，進而得到
，得到，于是就說明原結論成立.
試題解析：解（Ⅰ）函數(shù)的圖象與坐標軸的交點為，
又  
函數(shù)的圖象與直線的交點為，
又 
由題意可知，
又，所以               3分
不等式可化為
即
令，則，

又時，，，
故，在上是減函數(shù)
即在上是減函數(shù)
因此，在對任意的，不等式成立，
只需
所以實數(shù)的取值范圍是               8分
（Ⅱ）證明：和的公共定義域為，由（Ⅰ）可知，

令，則，
在上是增函數(shù)
故，即            ①
令，則，
當時，；當時，，
有最大值，因此    ②
由①②得，即
又由①得
由②得


故函數(shù)和在其公共定義域的所有偏差都大于2