Question

13．已知實數(shù)a、b滿足：a＞0，b＞0．
（1）若x∈R，求證：|x+a|+|x-b|≥2$\sqrt{ab}$．
（2）若a+b=1，求證：$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{2}{ab}$≥12．

Answer 1

分析 （1）運用絕對值不等式的性質(zhì)和均值不等式，即可得證；
（2）由均值不等式可得ab≤$\frac{1}{4}$，即$\frac{1}{ab}$≥4，原不等式左邊化簡即為$\frac{3}{ab}$，即可得證．

解答 證明：（1）由a＞0，b＞0，可得
|x+a|+|x-b|≥|（x+a）-（x-b）|=a+b≥2$\sqrt{ab}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b取得等號；
（2）由a，b＞0，1=a+b≥2$\sqrt{ab}$，
可得ab≤$\frac{1}{4}$，即$\frac{1}{ab}$≥4，
則$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{2}{ab}$=$\frac{a+b}{ab}$+$\frac{2}{ab}$=$\frac{3}{ab}$≥12，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=$\frac{1}{2}$，取得等號．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用絕對值不等式的性質(zhì)和均值不等式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．