(2006•海淀區(qū)二模)已知函數(shù)f(x)=cos2x+2
3
sinxcosx(x∈R)

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和最大值;
(2)函數(shù)f(x)的圖象可由y=2sinx(x∈R)的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到?
分析:(1)利用三角函數(shù)間的關(guān)系將f(x)=cos2x+2
3
sinxcosx化簡為f(x)=2sin(2x+
π
6
),即可求得函數(shù)f(x)的最小正周期和最大值;
(2)利用函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換即可得到答案.
解答:解:(1)f(x)=cos2x+2
3
sinxcosx=cos2x+
3
sin2x…(2分)
=2(
1
2
cos2x+
3
2
sin2x)
=2sin(2x+
π
6
)…(4分)
∴T=π,f(x)最大值=2…(6分)
(2)先將y=2sinx(x∈R)的圖象向左移
π
6
個單位,得到y(tǒng)=2sin(x+
π
6
)的圖象;再將y=2sin(x+
π
6
)的圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话�,縱坐標(biāo)不變,得到y(tǒng)=2sin(2x+
π
6
)的圖象.…(13分)
或先將y=2sinx(x∈R)的圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉硪话�,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)y=2sin2x的圖象;再將y=2sin2x的圖象向左移
π
12
個單位,得到2sin(2x+
π
6
)的圖象.…(13分)
點評:本題考查兩角和與差的正弦函數(shù),著重考查函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換及其應(yīng)用,屬于中檔題.
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1
16
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