Question

12．在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為：ρ=4cosθ．
（I）求直線l的極坐標方程； 
（II）求直線l與曲線C交點的極坐標（ρ＞0，0≤θ＜2π）．

Answer 1

分析 （I）將直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t，化為普通方程，將x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入上述方程可得極坐標方程．
（II）由$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}ρcosθ-ρsinθ-2\sqrt{3}=0}\\{ρ=4cosθ}\end{array}\right.$，得：sin$（2θ-\frac{π}{3}）$=0，又因為ρ＞0，0≤θ＜2π，即可得出．

解答 解：（I）將直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t，化為普通方程$\sqrt{3}$x-y-2$\sqrt{3}$=0，…（2分）
將x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入上述直線方程可得：$\sqrt{3}$ρcosθ-ρsinθ-2$\sqrt{3}$=0．…（4分）
（II）由$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}ρcosθ-ρsinθ-2\sqrt{3}=0}\\{ρ=4cosθ}\end{array}\right.$，…（6分）
得：sin$（2θ-\frac{π}{3}）$=0，又因為ρ＞0，0≤θ＜2π．…（8分）
所以$\left\{\begin{array}{l}{ρ=2}\\{θ=\frac{5π}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{ρ=2\sqrt{3}}\\{θ=\frac{π}{6}}\end{array}\right.$．
所以l與C交點的極坐標分別為：$（2，\frac{5π}{3}）$，$（2\sqrt{3}，\frac{π}{6}）$．…（10分）

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標方程的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．