18．已知二次函數(shù)f（x）滿足關(guān)系式f（-2+x）=f（-2-x），f（x）的圖象被x軸截得的線段長為4，且方程f（x）=x有唯一的解，求f（x）的表達式．

分析 由f（-2+x）=f（-2-x）得出對稱軸x=-2，由題意得f（x）的圖象與x軸的交點坐標為（0，0）（-4，0），設(shè)f（x）=ax（x+4），利用一元二次方程根的問題求出a的值．

解答 解：∵二次函數(shù)f（x）滿足f（-2+x）=f（-2-x），
∴對稱軸x=-2，
∵f（x）的圖象被x軸截得的線段長為4，
∴f（x）的圖象與x軸的交點坐標為（0，0）（-4，0），
∴設(shè)f（x）=ax（x+4）=ax2+4ax，
∵方程f（x）=x有唯一的等根，
∴ax2+（4a-1）x=0有唯一的等根．
即△=（4a-1）2=0，解得a=$\frac{1}{4}$，
∴f（x）=$\frac{1}{4}$x2+x．

點評 本題考查了二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，方程的根，一元二次函數(shù)圖象的交點問題，屬于中檔題．

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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

8．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為其直徑，CH⊥AB于H延長后交⊙O于D，連接DB并延長交過C點的直線于P，且CB平分∠DCP．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）若AC=4，BC=3，求$\frac{PC}{PB}$的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

9．語文成績服從正態(tài)分布N（100，17.52），數(shù)學成績的頻率分布直方圖如圖：
（1）如果成績大于135的為特別優(yōu)秀，這500名學生中本次考試語文、數(shù)學特別優(yōu)秀的大約各多少人？
（2）如果語文和數(shù)學兩科都特別優(yōu)秀的共有6人，從（1）中的這些同學中隨機抽取3人，設(shè)三人中兩科都特別優(yōu)秀的有x人，求x的分布列和數(shù)學期望．
（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，是否有99%的把握認為語文特別優(yōu)秀的同學，數(shù)學也特別優(yōu)秀．
①若x～N（μ，σ2），則P（μ-σ＜x≤μ+σ）=0.68，P（μ-2σ＜x≤μ+2σ）=0.96．
②k2=$\frac{n（ad-bc）^2}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$；
③
P（k2≥k0）0.500.40…0.0100.0050.001
k00.4550.708…6.6357.87910.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

6．已知集合M={x|x2+3x=0}，N={x|x2+2x-3=0}，求M∩N．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

13．已知函數(shù)f（x）=sin（2x+φ），（0＜φ＜$\frac{π}{2}$），f（x）≤f（$\frac{π}{6}$）恒成立，則φ=$\frac{π}{6}$．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

3．設(shè)函數(shù)f（x）=（2-a）lnx+$\frac{2}{x}$+ax．
（1）當a=0時，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）當a＜0時，試求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

10．平面內(nèi)給定三個向量$\overrightarrow a$=（3，2），$\overrightarrow b$=（-1，2），$\overrightarrow c$=（4，1）
（Ⅰ）求滿足$\overrightarrow a=m\overrightarrow b+n\overrightarrow c$的實數(shù)m，n；
（Ⅱ）若（$\overrightarrow a+k\overrightarrow c）$∥（2$\overrightarrow b-\overrightarrow a）$，求實數(shù)k；
（Ⅲ）若$\overrightarrow d$滿足（$\overrightarrow d$-$\overrightarrow c$）⊥（$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$），且|$\overrightarrow d$|=2$\sqrt{2}$，求$\overrightarrow d$的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

7．已知數(shù)列{an}是首項為1，公差不為0的等差數(shù)列，且a1，a2，a4成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）若bn=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，Sn是數(shù)列{bn}的前n項和，求證：Sn＜1．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

8．在△ABC中，若a=1，c=2，B=60°，則邊b等于（　�。�
A．$\frac{1}{2}$B．$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$C．$\sqrt{3}$D．1

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