Question

18．已知二次函數(shù)f（x）滿足關(guān)系式f（-2+x）=f（-2-x），f（x）的圖象被x軸截得的線段長為4，且方程f（x）=x有唯一的解，求f（x）的表達(dá)式．

Answer 1

分析 由f（-2+x）=f（-2-x）得出對稱軸x=-2，由題意得f（x）的圖象與x軸的交點坐標(biāo)為（0，0）（-4，0），設(shè)f（x）=ax（x+4），利用一元二次方程根的問題求出a的值．

解答 解：∵二次函數(shù)f（x）滿足f（-2+x）=f（-2-x），
∴對稱軸x=-2，
∵f（x）的圖象被x軸截得的線段長為4，
∴f（x）的圖象與x軸的交點坐標(biāo)為（0，0）（-4，0），
∴設(shè)f（x）=ax（x+4）=ax²+4ax，
∵方程f（x）=x有唯一的等根，
∴ax²+（4a-1）x=0有唯一的等根．
即△=（4a-1）²=0，解得a=$\frac{1}{4}$，
∴f（x）=$\frac{1}{4}$x²+x．

點評 本題考查了二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，方程的根，一元二次函數(shù)圖象的交點問題，屬于中檔題．