Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=（2-a）lnx+$\frac{2}{x}$+ax．
（1）當a=0時，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）當a＜0時，試求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
當a=0時，$f（x）=2lnx+\frac{2}{x}$，
∴$f'（x）=\frac{2}{x}-\frac{2}{x^2}=\frac{2（x-1）}{x^2}$，
令f′（x）=0得x=1，f（x），f′（x）隨x變化如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↙

故f（x）_極小值=f（1）=2，沒有極大值；
（2）由題意，$f'（x）=\frac{2-a}{x}-\frac{2}{x^2}+a=\frac{{a{x^2}+（2-a）x-2}}{x^2}=\frac{（ax+2）（x-1）}{x^2}$，（x＞0）
因a＜0時，令f′（x）=0，得${x_1}=-\frac{2}{a}$，x₂=1，
①當$-\frac{2}{a}=1$時，即a=-2，f'（x）≥0，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
②當$-\frac{2}{a}＞1$時，即a＜-2，由f'（x）＞0得$1＜x＜-\frac{2}{a}$，所以增區(qū)間為$（1，-\frac{2}{a}）$
由f'（x）＜0得$0＜x＜1或x＞-\frac{2}{a}$，所以減區(qū)間為$（0，1），（-\frac{2}{a}，+∞）$，
③當$-\frac{2}{a}＜1$時，即-2＜a＜0，由f'（x）＞0得$-\frac{2}{a}＜x＜1$，所以增區(qū)間為$（-\frac{2}{a}，1）$，
由f'（x）＜0得$0＜x＜-\frac{2}{a}或x＞1$，所以減區(qū)間為$（0，-\frac{2}{a}），（1，+∞）$，
綜上：①當a=-2，增區(qū)間（0，+∞），
②當a＜-2，增區(qū)間為$（1，-\frac{2}{a}）$，減區(qū)間為$（0，1），（-\frac{2}{a}，+∞）$，
③當-2＜a＜0，增區(qū)間為$（-\frac{2}{a}，1）$減區(qū)間為$（0，-\frac{2}{a}），（1，+∞）$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．