Question

17．在平面直角坐標系xOy中，直線l：$\left\{{\begin{array}{l}{x=m+t}\\{y=2+\sqrt{3}t}\end{array}（t為參數）}\right.$，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的方程是$ρ=\frac{8cosθ}{1-cos2θ}$；
（Ⅰ）若m=0，在曲線C上確定一點M，使得它到直線l的距離最小，并求出最小值；
（Ⅱ）設P（m，2）且m＞1，直線l與曲線C相交于A，B兩點，$\frac{{|{|{PA}|-|{PB}|}|}}{{|{PA}|•|{PB}|}}$=$\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$，求m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出曲線C的普通方程，設直線方程為y=$\sqrt{3}x$+b，代入拋物線方程，可得3x²+（2$\sqrt{3}$b-4）x+b²=0，利用△=0，可得M的坐標，即可得出結論；
（Ⅱ）利用參數的幾何意義，結合條件，即可求m的值．

解答 解：（Ⅰ）由曲線C的極坐標方程為$ρ=\frac{8cosθ}{1-cos2θ}$，即ρ（1-cos2θ）=8cosθ，化為ρ²•2sin²θ=8ρcosθ，∴y²=4x．
m=0，直線方程為y=$\sqrt{3}x$+2
設直線方程為y=$\sqrt{3}x$+b，代入拋物線方程，可得3x²+（2$\sqrt{3}$b-4）x+b²=0，
△=（2$\sqrt{3}$b-4）²-12b²=0，∴b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，x=$\frac{1}{3}$，y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴M（$\frac{1}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），到直線l的距離最小，最小值為$\frac{|2-\frac{\sqrt{3}}{3}|}{\sqrt{3+1}}$=1-$\frac{\sqrt{3}}{6}$；
（Ⅱ）直線l：$\left\{{\begin{array}{l}{x=m+t}\\{y=2+\sqrt{3}t}\end{array}（t為參數）}\right.$，代入y²=4x．可得3t²+（4$\sqrt{3}$-4）t+4-4m=0
設A，B對應的參數分別為t₁，t₂，
則t₁+t₂=$\frac{4-4\sqrt{3}}{3}$，①t₁t₂=$\frac{4-4m}{3}$②，
∵$\frac{{|{|{PA}|-|{PB}|}|}}{{|{PA}|•|{PB}|}}$=$\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$，P（m，2）且m＞1，
∴$\frac{\sqrt{（\frac{4-4\sqrt{3}}{3}）^{2}-4•\frac{4-4m}{3}}}{|\frac{4-4m}{3}|}$=$\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$，
∴m=-5-3$\sqrt{3}$+$\sqrt{59+36\sqrt{3}}$．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、參數方程化為普通方程、直線與拋物線相切問題轉化為一元二次的判別式滿足的條件，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．