Question

7．已知滿足方程$\left\{\begin{array}{l}{|z-1|=|z+i|}\\{|z-2|=a}\end{array}\right.$的復(fù)數(shù)z有且只有2個，則實數(shù)a的取值范圍是（2，+∞）．

Answer 1

分析 設(shè)出復(fù)數(shù)z，利用已知條件列出方程組，判斷求解即可．

解答 解：設(shè)z=x+yi，方程$\left\{\begin{array}{l}{|z-1|=|z+i|}\\{|z-2|=a}\end{array}\right.$化為：$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）^{2}+{y}^{2}={x}^{2}+（y+1）^{2}}\\{（x-2）^{2}+{y}^{2}=a}\end{array}\right.$
即：$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{（x-2）^{2}+{y}^{2}=a}\end{array}\right.$，如圖：
滿足方程$\left\{\begin{array}{l}{|z-1|=|z+i|}\\{|z-2|=a}\end{array}\right.$的復(fù)數(shù)z有且只有2個，
可得：$\frac{|2-0|}{\sqrt{2}}＜\sqrt{a}$，
解得a＞2．
故答案為：（2，+∞）..

點評 本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，直線與圓的方程的綜合應(yīng)用，考查計算能力．