Question

18．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，以點(diǎn)F₂為圓心的圓與雙曲線的漸近線相切，切點(diǎn)為P．若∠F₁PF₂=$\frac{2π}{3}$，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{13}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{21}}}{3}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{37}$

Answer 1

分析 根據(jù)漸近線和圓相切求出交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合余弦定理以及雙曲線的定義進(jìn)行求解即可得到結(jié)論．

解答 解：∵點(diǎn)F₂為圓心的圓與雙曲線的漸近線相切，切點(diǎn)為P，
∴不妨設(shè)切線方程為y=$\frac{a}$x，
F₂P的方程為y=-$\frac{a}$（x-c），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{a}x}\\{y=-\frac{a}（x-c）}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{a}^{2}}{c}}\\{y=\frac{ab}{c}}\end{array}\right.$，即P（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），
則F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
則|PF₁|=$\sqrt{（\frac{{a}^{2}}{c}+c）^{2}+（\frac{ab}{c}）^{2}}$=$\sqrt{3{a}^{2}+{c}^{2}}$，|PF₂|=$\sqrt{（\frac{{a}^{2}}{c}-c）^{2}+（\frac{ab}{c}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{^{4}}{{c}^{2}}+\frac{{a}^{2}^{2}}{{c}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{^{2}（{a}^{2}+^{2}）}{{c}^{2}}}$=b，
∵∠F₁PF₂=$\frac{2π}{3}$，
∴|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|cos$\frac{2π}{3}$，
即4c²=3a²+c²+b²+2$\sqrt{3{a}^{2}+{c}^{2}}$×b×$\frac{1}{2}$，
即3c²-3a²-b²=$\sqrt{3{a}^{2}+{c}^{2}}$×b，
即2b²=$\sqrt{3{a}^{2}+{c}^{2}}$×b，
則2b=$\sqrt{3{a}^{2}+{c}^{2}}$，
平方得4b²=3a²+c²，
即4（c²-a²）=3a²+c²，
整理得3c²=7a²，
則$\sqrt{3}$c=$\sqrt{7}$a，
則離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$=$\frac{{\sqrt{21}}}{3}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線離心率的計(jì)算，根據(jù)漸近線和圓相切求出交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合余弦定理進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．