Question

6．已知a、b、c分別為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，若a²+c²=b²+$\sqrt{3}$ac，a=$\sqrt{3}$b，則下列關(guān)系可能成立的是①②④．
①b=c            ②2b=c              ③a=c       ④a²+b²=c²．

Answer 1

分析 由余弦定理可得cosB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，結(jié)合B的范圍可求B=$\frac{π}{6}$，又a=$\sqrt{3}$b，利用正弦定理可得sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，結(jié)合范圍A∈（0，π），可得A=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$，分類討論利用三角形內(nèi)角和定理，勾股定理即可得解．

解答 解：∵a²+c²=b²+$\sqrt{3}$ac，
∴a²+c²-b²=$\sqrt{3}$ac，
∴由余弦定理可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{\sqrt{3}ac}{2ac}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{6}$，
又∵a=$\sqrt{3}$b，
∴利用正弦定理可得：sinA=$\sqrt{3}$sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$，
∴當(dāng)A=$\frac{π}{3}$時(shí)，C=π-A-B=$\frac{π}{2}$，可得：a²+b²=c²，故④正確；
又a=$\sqrt{3}$b，可得：3b²+b²=c²，解得：b=2c，故②正確；
當(dāng)A=$\frac{2π}{3}$時(shí)，C=π-A-B=$\frac{π}{6}$，可得：b=c，此時(shí)①正確．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦定理，正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，勾股定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和分類討論思想，屬于中檔題．