Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=a（x-1）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，解不等式|f（x）|+|f（-x）|≥3x；
（Ⅱ）設(shè)|a|≤1，當(dāng)|x|≤1時，求證：$|f（{x^2}）+x|≤\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=1時，不等式|f（x）|+|f（-x）|≥3x即|x-1|+|x+1|≥3x，分類討論，即可解不等式|f（x）|+|f（-x）|≥3x；
（Ⅱ）設(shè)|a|≤1，當(dāng)|x|≤1時，|f（x²）+x|≤|a|（1-x²）+|x|≤1-x²+|x|，即可證明：$|f（{x^2}）+x|≤\frac{5}{4}$．

解答 解：（ I）當(dāng)a=1時，不等式|f（x）|+|f（-x）|≥3x即|x-1|+|x+1|≥3x
當(dāng)x≤-1時，得1-x-x-1≥3x⇒x≤0，∴x≤-1-----------------------------------------（1分）
當(dāng)-1＜x＜1時，得1-x+x+1≥3x$⇒x≤\frac{2}{3}$，∴$-1＜x≤\frac{2}{3}$-----------------------------（2分）
當(dāng)x≥1時，得x-1+x+1≥3x⇒x≤0，與x≥1矛盾，-------------------------------------（3分）
綜上得原不等式的解集為$\{x|x≤-1\}∪\{x|-1＜x≤\frac{2}{3}\}$=$\{x|x≤\frac{2}{3}\}$------------------------（5分）
（II）證明：|f（x²）+x|=|a（x²-1）+x|≤|a（x²-1）|+|x|-----------------------------------------------（6分）
∵|a|≤1，|x|≤1
∴|f（x²）+x|≤|a|（1-x²）+|x|≤1-x²+|x|-------------------------------------------------（7分）
=$-|x{|^2}+|x|+1=-{（|x|-\frac{1}{2}）^2}+\frac{5}{4}≤\frac{5}{4}$，------------------------------------------（9分）
當(dāng)$|x|=\frac{1}{2}$時取“=”，得證．--------------------------------------------------------------（10分）

點評 本題考查不等式的解法，考查絕對值不等式的性質(zhì)，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．