Question

18．在區(qū)間[1，e]上任取實(shí)數(shù)a，在區(qū)間[0，2]上任取實(shí)數(shù)b，使函數(shù)f（x）=ax²+x+$\frac{1}{4}$b有兩個(gè)相異零點(diǎn)的概率是（　　）

• A． $\frac{1}{2（e-1）}$
• B． $\frac{1}{4（e-1）}$
• C． $\frac{1}{8（e-1）}$
• D． $\frac{1}{16（e-1）}$

Answer 1

分析 設(shè)所求的事件為A，由方程ax²+x+$\frac{1}{4}$b=0有兩個(gè)相異根，即△=1-ab＞0求出ab范圍，判斷出是一個(gè)幾何概型后，在坐標(biāo)系中畫出所有的實(shí)驗(yàn)結(jié)果和事件A構(gòu)成的區(qū)域，再用定積分求出事件A構(gòu)成的區(qū)域的面積，代入幾何概型的概率公式求解．

解答 解：設(shè)事件A={使函數(shù)f（x）=ax²+x+$\frac{1}{4}$b有兩個(gè)相異零點(diǎn)}，
方程ax²+x+$\frac{1}{4}$b=0有兩個(gè)相異根，即△=1-ab＞0，解得ab＜1，
∵在[1，e]上任取實(shí)數(shù)a，在[0，2]上任取實(shí)數(shù)b，
∴這是一個(gè)幾何概型，所有的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Ω={（a，b）|1≤a≤e且 0≤b≤2}，面積為2（e-1）；
事件A={（a，b）|ab＜1，1≤a≤e且 0≤b≤2}，面積S=${∫}_{1}^{e}\frac{1}{a}da$=1，
∴事件A的概率P（A）=$\frac{1}{2（e-1）}$．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了幾何概型下事件的概率的求法，用一元二次方程根的個(gè)數(shù)求出ab的范圍，用定積分求不規(guī)則圖形的面積，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力．