Question

3．函數(shù)y=f（x）圖象上不同兩點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）處的切線的斜率分別是k_M，k_N，規(guī)定φ（M，N）=$\frac{|{k}_{M}-{k}_{N}|}{|MN|}$（|MN|為線段MN的長(zhǎng)度）叫做曲線y=f（x）在點(diǎn)M與點(diǎn)N之間的“彎曲度”．設(shè)曲線f（x）=x³+2上不同兩點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），且x₁y₁=1，則φ（M，N）的取值范圍是（0，$\frac{3\sqrt{10}}{5}$）．

Answer 1

分析 利用定義，再換元，即可得出結(jié)論．

解答 解：曲線f（x）=x³+2，則f′（x）=3x²，
設(shè)x₁+x₂=t（|t|＞2），則φ（M，N）=$\frac{3|t|}{\sqrt{1+（{t}^{2}-1）^{2}}}$=$\frac{3}{\sqrt{{t}^{2}+\frac{2}{{t}^{2}}-2}}$，
∴0＜φ（M，N）＜$\frac{3\sqrt{10}}{5}$．
故答案為：（0，$\frac{3\sqrt{10}}{5}$）

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．