20.在棱長(zhǎng)為2正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是CC1、A1D1中點(diǎn),M、N分別為線(xiàn)段CD、AD上的動(dòng)點(diǎn),若EN⊥FM,則線(xiàn)段MN長(zhǎng)度的最小值是(  )
A.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$C.$\sqrt{2}$D.1

分析 以D為原點(diǎn),DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出線(xiàn)段MN長(zhǎng)度的最小值.

解答 解:以D為原點(diǎn),DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則E(0,2,1),F(xiàn)(1,0,2),
設(shè)M(0,y,0),N(x,0,0),x∈[0,2),y∈[0,2],
則$\overrightarrow{EN}$=(x,-2,-1),$\overrightarrow{FM}$=(-1,y,-2),
$\overrightarrow{MN}$=(x,-y,0),
∵EN⊥FM,∴$\overrightarrow{EN}•\overrightarrow{FM}$=-x-2y+2=0,∴x=2-2y,
∴|$\overrightarrow{MN}$|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$
=$\sqrt{(2-2y)^{2}+{y}^{2}}$
=$\sqrt{5{y}^{2}-8y+4}$
=$\sqrt{5(y-\frac{4}{5})^{2}+\frac{4}{5}}$,
∴當(dāng)y=$\frac{4}{5}$∈[0,2]時(shí),
線(xiàn)段MN長(zhǎng)度取最小值$\sqrt{\frac{4}{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
故選:A.

點(diǎn)評(píng) 本題考查線(xiàn)段長(zhǎng)的最小值的求法,考查空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想,是中檔題.

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10.某程序框圖如圖所示,該程序運(yùn)行后輸出的k的值是( 。
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15.已知△ABC的三內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a,b,c,且csinA=$\sqrt{3}$acosC.
(1)求角C的大;
(2)若c=2,求△ABC的面積的最大值.

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5.如圖,在四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAB與底面ABCD垂直,△PAB為正三角形,AB⊥AD,CD⊥AD,點(diǎn)E、M分別為線(xiàn)段BC、AD的中點(diǎn),F(xiàn)、G分別為線(xiàn)段PA、AE上一點(diǎn),且AB=AD=2,PF=2FA.
(1)當(dāng)AG=2GE時(shí),求證:FG∥平面PCD;
(2)試問(wèn):直線(xiàn)CD上是否存在一點(diǎn)Q,使得平面PAB與平面PMQ所成銳二面角的大小為30°,若存在,求DQ的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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12.把黑、紅、白各1張紙牌分給甲、乙、丙三人,則事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是(  )
A.對(duì)立事件B.互斥但不對(duì)立事件
C.不可能事件D.必然事件

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9.已知α,β∈(-$\frac{π}{2}$,$\frac{π}{2}$),tanα,tanβ是二次方程x2+$\sqrt{2017}$x+1+$\sqrt{2017}$=0的兩實(shí)根,則α+β=-$\frac{3π}{4}$.

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17.已知復(fù)數(shù)z=$\frac{\sqrt{3}+i}{2i}$,$\overline{z}$是z的共軛復(fù)數(shù),則z•$\overline{z}$=( 。
A.1B.2C.$\frac{1}{4}$D.$\frac{1}{2}$

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