Question

20．在棱長(zhǎng)為2正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是CC₁、A₁D₁中點(diǎn)，M、N分別為線(xiàn)段CD、AD上的動(dòng)點(diǎn)，若EN⊥FM，則線(xiàn)段MN長(zhǎng)度的最小值是（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出線(xiàn)段MN長(zhǎng)度的最小值．

解答 解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則E（0，2，1），F(xiàn)（1，0，2），
設(shè)M（0，y，0），N（x，0，0），x∈[0，2），y∈[0，2]，
則$\overrightarrow{EN}$=（x，-2，-1），$\overrightarrow{FM}$=（-1，y，-2），
$\overrightarrow{MN}$=（x，-y，0），
∵EN⊥FM，∴$\overrightarrow{EN}•\overrightarrow{FM}$=-x-2y+2=0，∴x=2-2y，
∴|$\overrightarrow{MN}$|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$
=$\sqrt{（2-2y）^{2}+{y}^{2}}$
=$\sqrt{5{y}^{2}-8y+4}$
=$\sqrt{5（y-\frac{4}{5}）^{2}+\frac{4}{5}}$，
∴當(dāng)y=$\frac{4}{5}$∈[0，2]時(shí)，
線(xiàn)段MN長(zhǎng)度取最小值$\sqrt{\frac{4}{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線(xiàn)段長(zhǎng)的最小值的求法，考查空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．