Question

9．已知α，β∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），tanα，tanβ是二次方程x²+$\sqrt{2017}$x+1+$\sqrt{2017}$=0的兩實(shí)根，則α+β=-$\frac{3π}{4}$．

Answer 1

分析 利用韋達(dá)定理求得tan（α+β）的值，再根據(jù)α+β的范圍，求得α+β的值．

解答 解：∵α，β∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），tanα，tanβ是二次方程x²+$\sqrt{2017}$x+1+$\sqrt{2017}$=0的兩實(shí)根，
∴tanα+tanβ=-$\sqrt{2017}$，tanα•tanβ=$\sqrt{2017}$+1，
∴tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanα•tanβ}$=$\frac{-\sqrt{2017}}{1-（\sqrt{2017}+1）}$=1，
結(jié)合α+β∈（-π，π），∴α+β=$\frac{π}{4}$，或α+β=-$\frac{3π}{4}$，
當(dāng)α+β=$\frac{π}{4}$時(shí)，不滿足tanα+tanβ=-$\sqrt{2017}$，故舍去，檢驗(yàn)α+β=-$\frac{3π}{4}$，滿足條件．
綜上可得，α+β=-$\frac{3π}{4}$，
故答案為：-$\frac{3π}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查韋達(dá)定理，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于基礎(chǔ)題．