Question

已知．
（I）設(shè)函數(shù)g（x）=•，將函數(shù)g（x）的圖象向右平移單位，再將所得圖象上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的，得到函數(shù)f（x），求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（II）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若B為銳角，且，求a．

Answer 1

【答案】分析：（I）由兩向量的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則列出關(guān)系式，第一項(xiàng)利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，第二項(xiàng)利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化為一個角的余弦函數(shù)，然后由“左加右減”規(guī)律，得到將函數(shù)g（x）的圖象向右平移單位的解析式，再將x化為2x，確定出f（x）解析式，由余弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為[2kπ，2kπ+π]，k∈Z，列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集得到f（x）的減區(qū)間；
（II）由第一問確定的f（x）解析式及f（B）=1，得到cos（2B+）=0，由B為銳角，得到2B+的范圍，利用余弦函數(shù)的圖象及特殊角的三角函數(shù)值求出B的度數(shù)，進(jìn)而確定出cosB的值，再由b與c的值，利用余弦定理即可求出a的值．
解答：解：（I）g（x）=•=cos（x+）+2cos²
=-cosx+sinx+cosx+1
=cosx+sinx+1
=cos（x+）+1，
由題意得：f（x）=cos（2x+-）+1=cos（2x+）+1，
令2kπ≤2x+≤2kπ+π，k∈Z，解得：kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，
則f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[kπ-，kπ+]，k∈Z；
（II）由f（B）=cos（2B+）+1=1，得到cos（2B+）=0，
∵0＜B＜，∴＜2B+＜，
∴2B+=，即B=，又b=1，c=，
則由余弦定理得：b²=a²+c²-2ac•cosB，即1=a²+3-3a，
整理得：（a-1）（a-2）=0，
解得：a=1或a=2．
點(diǎn)評：此題考查了余弦定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，余弦函數(shù)的單調(diào)性，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．