Question

12．已知平面向量$\overrightarrow{a}$=（3，4），$\overrightarrow$=（-2，1），$\overrightarrow{c}$=（-1，6）．
（1）若（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{c}$）∥$\overrightarrow$，求實數k的值；
（2）求滿足$\overrightarrow{c}$=m$\overrightarrow{a}$+n$\overrightarrow$的實數m，n的值．

Answer 1

分析 （1）由向量的坐標運算求出$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{c}$的坐標，由向量平行的坐標表示列出方程，求出實數k的值；
（2）由向量的坐標運算求出m$\overrightarrow{a}$+n$\overrightarrow$的坐標，由條件和向量相等的條件列出方程組，求出實數m，n的值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（3，4），$\overrightarrow{c}$=（-1，6），
∴$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{c}$=（3，4）+k（-1，6）=（3-k，4+6k），
∵（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{c}$）∥$\overrightarrow$，且$\overrightarrow$=（-2，1），
∴（3-k）×1-（-2）×（4+6k）=0，解得k=-1，
則實數k的值是-1；
（2）∵$\overrightarrow{a}$=（3，4），$\overrightarrow$=（-2，1），
∴m$\overrightarrow{a}$+n$\overrightarrow$=m（3，4）+n（-2，1）=（3m-2n，4m+n），
∵$\overrightarrow{c}$=m$\overrightarrow{a}$+n$\overrightarrow$，且$\overrightarrow{c}$=（-1，6），∴$\left\{\begin{array}{l}{3m-2n=-1}\\{4m+n=6}\end{array}\right.$，
解得m=1、n=2，
∴實數m，n的值是1和2．

點評 本題考查向量的坐標運算，向量平行的坐標，以及向量相等的條件，考查方程思想，屬于基礎題．