Question

6．已知函數(shù)f（x）=（α+2cos²x）cos（2x+θ）為奇函數(shù)，且f（$\frac{π}{4}$）=0，其中α∈R，θ∈（0，π），求α，θ的值．

Answer 1

分析 由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{f（-x）=-f（x）}\\{（a+1）•（-sinθ）=0}\end{array}\right.$，化簡可得 a=-1，cos（θ-2x）+cos（θ+2x）=0，再利用θ的值求得θ的值，可得結(jié)論．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=（α+2cos²x）cos（2x+θ）為奇函數(shù)，
且f（$\frac{π}{4}$）=0，其中α∈R，θ∈（0，π），
則有$\left\{\begin{array}{l}{f（-x）=-f（x）}\\{（a+1）•（-sinθ）=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{（a+{2cos}^{2}x）cos（θ-2x）=-（a+{2cos}^{2}x）cos（2x+θ）}\\{（a+1）sinθ=0}\end{array}\right.$，
∴a+1=0，且cos2xcos（θ-2x）=-cos2xcos（θ+2x），
∴a=-1，cos（θ-2x）+cos（θ+2x）=0，即cosθcos2x=0，∴θ=$\frac{π}{2}$．
綜上可得，a=-1，θ=$\frac{π}{2}$．

點評 本題主要考查函數(shù)的奇偶性的應用，奇函數(shù)的定義，兩角和差的余弦公式，屬于基礎題．