Question

2．在△ABC中角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，已知a=5，b=7，cosC=$\frac{1}{7}$，$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{BC}$方向上的投影為-4．

Answer 1

分析 根據(jù)條件及余弦定理即可求出c²=64，進(jìn)而得出c=8，再根據(jù)余弦定理可求出cosB=$\frac{1}{2}$，這樣根據(jù)向量投影的計(jì)算公式即可求出$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{BC}$方向上的投影．

解答 解：如圖，△ABC中，$a=5，b=7，cosC=\frac{1}{7}$；
∴由余弦定理得，c²=a²+b²-2abcosC=25+49-10=64；
∴c=8；
∴$cosB=\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}=\frac{25+64-49}{80}=\frac{1}{2}$；
∴$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{BC}$方向上的投影為$|\overrightarrow{AB}|•cos＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{BC}＞=|\overrightarrow{AB}|•（-cosB）$=$8×（-\frac{1}{2}）=-4$．
故答案為：-4．

點(diǎn)評(píng) 考查余弦定理，向量夾角的定義，三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，以及一個(gè)向量在另一個(gè)向量方向上的投影的定義及計(jì)算公式．