Question

17．己知函數(shù)f（x）=ax²-2ax+b（a＞0）在區(qū)間[0，3]上有最大值3和最小值-1．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，若不等式g（3^x）-k•3^x≥0在x∈[-1，0）上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出f（x）的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最大值和最小值，得到關(guān)于a，b的方程組，解出即可；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為k≤1-$\frac{2}{{3}^{x}}$，令h（x）=1-$\frac{2}{{3}^{x}}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h（x）的最小值，求出k的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的對(duì)稱軸是x=1，a＞0，
故f（x）在[0，1]遞減，在[1，3]遞增，
故f（x）_min=f（1）=-1，f（x）_max=f（3）=3；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b=1}\\{3a+b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=0}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）∵g（x）=$\frac{f（x）}{x}$=x-2，
∴g（3^x）-k3^x=3^x-2-k3^x，
∴（1-k）3^x-2≥0，
∴k≤1-$\frac{2}{{3}^{x}}$，
令h（x）=1-$\frac{2}{{3}^{x}}$，則h（x）在[-1，0]遞增，
故h（x）_min=h（-1）=-5，
∴g（3^x）-k•3^x≥0在x∈[-1，0）上恒成立時(shí)，k≤-5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．