Question

12．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞b＞0）過點(diǎn)（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），且離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知點(diǎn)P（4，0），橢圓內(nèi)部是否存在一個(gè)定點(diǎn)，過此點(diǎn)的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$=12恒成立，若存在，求出此點(diǎn)，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意知，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{3}{4^{2}}$=1，a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可得出；
（2）假設(shè)存在．設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．當(dāng)直線斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線方程為y=kx+m．與橢圓方程聯(lián)立化簡得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0．因?yàn)檫^橢圓內(nèi)的點(diǎn)，故此方程必有兩根．利用根與系數(shù)的關(guān)系與數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)可得$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$=12=$\frac{60{k}^{2}+5{m}^{2}+32km+12}{1+4{k}^{2}}$，故得5m²+32km+12k²=0．解出并且驗(yàn)證即可得出．

解答 解：（1）由題意知，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{3}{4^{2}}$=1，a²=b²+c²，
聯(lián)立解得a=2，b=1．
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）假設(shè)橢圓內(nèi)部存在一個(gè)定點(diǎn)，過此點(diǎn)的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$=12恒成立．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
當(dāng)直線斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線方程為y=kx+m．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化簡得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0．
因?yàn)檫^橢圓內(nèi)的點(diǎn)，故此方程必有兩根．
∴x₁+x₂=$\frac{-8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$=12=（x₁-4）（x₂-4）+y₁y₂
=（1+k²）x₁•x₂+（km-4）（x₁+x₂）+16+m²
=（1+k²）•$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$+（km-4）•$\frac{-8km}{1+4{k}^{2}}$+16+m²
=$\frac{60{k}^{2}+5{m}^{2}+32km+12}{1+4{k}^{2}}$，
故得5m²+32km+12k²=0．
∵k≠0，故有5（$\frac{m}{k}$）²+32•$\frac{m}{k}$+12=0，
解得m=-$\frac{2}{5}$k或m=-6k，
故直線方程為y=kx-$\frac{2}{5}$k或y=kx-6k．
則直線恒過點(diǎn)（$\frac{2}{5}$，0）或（6，0），
因?yàn)榇它c(diǎn)在橢圓內(nèi)部，故唯有點(diǎn)（$\frac{2}{5}$，0）滿足要求．
當(dāng)直線斜率為0時(shí)，過點(diǎn)（$\frac{2}{5}$，0）的直線與橢圓的交點(diǎn)顯然即為M，N，
$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$=（-6）×（-2）=12，滿足．
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，
過點(diǎn)（$\frac{2}{5}$，0）的直線與橢圓的交點(diǎn)M，N為（$\frac{2}{5}$，$\frac{2\sqrt{6}}{5}$），（$\frac{2}{5}$，-$\frac{2\sqrt{6}}{5}$），
$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$=（$\frac{2}{5}$-4）²-（$\frac{2\sqrt{6}}{5}$）²=12，亦滿足．
綜上，在橢圓內(nèi)部存在點(diǎn)（$\frac{2}{5}$，0）滿足題目要求．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了題意的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．