Question

20．圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為α，半徑為$\sqrt{3}$的扇形，當(dāng)圓錐的體積最大時，α的值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}π}{3}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}π}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{6}π}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{6}π}{3}$

Answer 1

分析 設(shè)圓錐底面半徑為r，用r表示出圓錐的高，利用體積公式和基本不等式求出圓錐體積最大時對應(yīng)的底面半徑，從而得出α的值．

解答 解：圓錐的母線長為$\sqrt{3}$，設(shè)圓錐的底面半徑為r，則圓錐的高h(yuǎn)=$\sqrt{3-{r}^{2}}$，
∴圓錐的體積V=$\frac{1}{3}π{r}^{2}\sqrt{3-{r}^{2}}$=$\frac{π}{3}$$\sqrt{{r}^{2}•{r}^{2}（3-{r}^{2}）}$=$\frac{2π}{3}$$\sqrt{\frac{{r}^{2}}{2}•\frac{{r}^{2}}{2}•（3-{r}^{2}）}$≤$\frac{2π}{3}$．
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{{r}^{2}}{2}=\frac{{r}^{2}}{2}=3-{r}^{2}$即r²=2時取等號．
∴圓錐的體積最大時，α=$\frac{2πr}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{2}π}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{6}π}{3}$．
故選D．

點(diǎn)評 本題考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．