Question

7．“平面內(nèi)與兩定點F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）距離之和為4的點的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1”．類比或模仿推導上述橢圓方程的辦法，試寫出“空間內(nèi)與兩定點F₁'（-1，0，0），F(xiàn)₂′（1，0，0）距離之和為4的點的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$+$\frac{{z}^{2}}{3}$=1．

Answer 1

分析 類比可得動點的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$+$\frac{{z}^{2}}{3}$=1．設(shè)所求動點P的坐標為（x，y，z），運用兩點的距離公式，化簡整理，由移項兩邊平方，即可得到所求軌跡方程．

解答 解：類比可得動點的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$+$\frac{{z}^{2}}{3}$=1．
設(shè)所求動點P的坐標為（x，y，z），
空間內(nèi)與兩定點F₁'（-1，0，0），F(xiàn)₂′（1，0，0）距離之和為4，
可得$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$+$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$=4，
即為$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$=4-$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$，
兩邊平方可得（x+1）²+y²+z²=16-8$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$+（x-1）²+y²+z²，
化簡可得2$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$=4-x，
再兩邊平方可得4[（x-1）²+y²+z²]=16-8x+x²，
可得3x²+4y²+4z²=12，
即有$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$+$\frac{{z}^{2}}{3}$=1．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$+$\frac{{z}^{2}}{3}$=1．

點評 本題考查軌跡方程的求法，注意運用類比法和直接法，設(shè)點、運用兩點的距離公式和變形，考查運算能力，屬于中檔題．