Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上.

（1）若，點(diǎn)的坐標(biāo)為，求橢圓的方程；

（2）若點(diǎn)橫坐標(biāo)為，點(diǎn)為中點(diǎn)，且，求橢圓的離心率.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由題意，然后將點(diǎn)坐標(biāo)代入方程，可求解出a，可得橢圓方程；
（2）將P點(diǎn)橫坐標(biāo)代入橢圓方程可得P的坐標(biāo)，可得的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，再由，可得a，c的關(guān)系式，從而求解離心率．

解：（1）設(shè)橢圓焦距為，則，

所以.①

又點(diǎn)在橢圓：上，所以.②

聯(lián)立①②解得或（舍去）.

所以橢圓的方程為；

（2）設(shè)橢圓焦距為，則，，

代入得，

不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，故點(diǎn)坐標(biāo)為，

又點(diǎn)為中點(diǎn)，故點(diǎn)坐標(biāo)為，

所以，，

由得，

即，化簡(jiǎn)得，

將代入得，即，

所以，解得，

因?yàn)?/span>，所以橢圓的離心率為.