Question

設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）是最小正周期為2π的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，0＜f（x）＜1，且在[0，

π

2

]上單調(diào)遞減，在[

π

2

，π]上單調(diào)遞增，則函數(shù)y=f（x）-sinx在[-10π，10π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（　　）

• A、0
• B、10
• C、20
• D、40

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)的周期性

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：把函數(shù)y=f（x）-sinx在[-10π，10π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為方程f（x）-sinx=0在[-10π，10π]上的根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)y=f（x）和y=sinx的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，由題目給出的函數(shù)y=f（x）的性質(zhì)作出其大致圖象，作出正弦函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可得答案．

解答： 解：由函數(shù)f（x）是最小正周期為2π的偶函數(shù)，得：
函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
又由當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，0＜f（x）＜1，
且在[0，

π

2

]上單調(diào)遞減，在[

π

2

，π]上單調(diào)遞增，
可作出函數(shù)f（x）圖象的大致形狀，
求函數(shù)y=f（x）-sinx在[-10π，10π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，就是求方程f（x）-sinx=0的根的個(gè)數(shù)，
即求函數(shù)y=f（x）的圖象與y=sinx圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，如圖，

函數(shù)y=f（x）的圖象與y=sinx的圖象交于x軸上方，
以正弦函數(shù)[-π，π]為一個(gè)周期，也正是函數(shù)y=f（x）的一個(gè)周期，在每個(gè)周期內(nèi)兩個(gè)函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
區(qū)間[-10π，10π]占10個(gè)周期長(zhǎng)度，
因此在[-10π，10π]上總的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為20個(gè)，
所以，函數(shù)y=f（x）-sinx在[-10π，10π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為20．
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根的存在性及根的個(gè)數(shù)的判斷，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想，分析函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，有時(shí)需要把一個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題．是基礎(chǔ)題．