Question

15．某軍區(qū)新兵50m步槍射擊個人平均成績X（單位：環(huán)）服從正態(tài)分布N（μ，σ²），從這些個人平均成績中隨機(jī)抽取，得到如下頻率分布表：

X	4	5	6	7	8	9
頻數(shù)	1	2	26	40	29	2

（1）求μ和σ²的值（用樣本書序期望、方差代替總數(shù)數(shù)學(xué)期望、方差）；
（2）如果這個軍區(qū)有新兵10000名，試估計這個軍區(qū)新兵步槍射擊個人平均成績在區(qū)間（7.9，8.8]上的人數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由題意得隨機(jī)抽取的100個成績的分布列，由此求出E（X），D（X），由此能求出μ，σ²=．
（2）由（1）知X～N（7，0.8），從而P（7.9＜X≤8.8）=$\frac{1}{2}$[P（5.2＜X≤8.8）-P（6.1＜X≤7.9）]=0.1359．由此能求出這個軍區(qū)新兵50m步槍射擊個人平均成績在區(qū)間（7.9.8.8]上的人數(shù)．

解答 解：（1）由題意得隨機(jī)抽取的100個成績的分布列為：

X	4	5	6	7	8	9
頻率	0.01	0.02	0.26	0.40	0.29	0.02

∴E（X）=4×0.01+5×0.02+6×0.26+7×0.40+8×0.29+9×0.02=7．
D（X）=（4-7）²×0.01+（5-7）²×0.02+（6-7）²×0.26+（7-7）²×0.40+（8-7）²×0.29+（9-7）²×0.02=0.8．
∵樣本成績是隨機(jī)得到的，
∴由樣本估算總體得：μ=E（X）=7，σ²=D（X）=0.8．
（2）由（1）知X～N（7，0.8），
∵$\sqrt{0.8}$≈0.9，∴σ=0.9，
∴P（7.9＜X≤8.8）=$\frac{1}{2}$[P（5.2＜X≤8.8）-P（6.1＜X≤7.9）]
=$\frac{1}{2}×（0.9544-0.6826）$
=0.1359．
∴這個軍區(qū)新兵50m步槍射擊個人平均成績在區(qū)間（7.9.8.8]上的人數(shù)約為：
10000×0.1359=1359．

點評 本題考查總體數(shù)學(xué)期望、方差的求法，考查概率的求法及應(yīng)用，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)的合理運用．