Question

12．如圖，所有棱長都為2的正三棱柱BCD-B'C'D'，四邊形ABCD是菱形，其中E為BD的中點．
（1）求證：平面BC'D∥面AB'D'；
（2）求證：平面C'CE⊥平面AB'D'．

Answer 1

分析 （1）取B′D′的中點為F，連AF，C′F，由已知得AFC′E為平行四邊形，通過線面平行證明平面BC′D∥面AB′D′．
（2）通過證明B'D'⊥平面C'CE，利用B'D'?平面AB'D'，證明平面C'CE⊥平面AB'D'．

解答 證明：（1）如圖，取B'D'的中點為F，連結(jié)AF，C'F，AE．則AFC'E為平行四邊形，∴AF∥C'E，
又AF?面AB'D'，C'E?平面AB'D'，∴C'E∥面AB'D'，
∵在三棱柱中，B'D'∥BD，BD?平面AB'D'，B'D'?平面AB'D'，
∴BD∥平面AB'D'，
∵BD∩C'E=E，BD、C'E?平面BC'D，
∴平面BC'D∥平面AB'D'．
（2）∵在正三角形BCD中，E是BD中點，
∴CE⊥BD
又在正棱柱中BD∥B'D'，CC'⊥平面B'C'D'，∴B'D'⊥CE，B'D'⊥CC'，
∵CC'∩CE=C，∴B'D'⊥平面C'CE，
∵B'D'?平面AB'D'，∴平面C'CE⊥平面AB'D'．

點評 本題主要考查直線與平面、平面與平面之間的平行、垂直等位置關(guān)系，考查空間想象能力和邏輯推理能力．，屬于中檔題．