Question

已知橢圓C的下頂點為B（0，-1），B到焦點的距離為2．
（Ⅰ）設(shè)Q是橢圓上的動點，求|BQ|的最大值；
（Ⅱ）直線l過定點P（0，2）與橢圓C交于兩點M，N，若△BMN的面積為

6

5

，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）由橢圓的下頂點為B（0，-1）知b=1．由B到焦點的距離為2知a=2．可得橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．設(shè)Q（x，y），利用兩點之間的距離公式及其橢圓的方程可得|BQ|=

-3(y- 1 3 )2+ 16 3

(-1≤y≤1)．再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
（II）由題設(shè)可知l的斜率必存在．由于l過點P（0，2），可設(shè)l方程為y=kx+2．與橢圓的方程聯(lián)立可得（1+4k²）x²+16kx+12=0．由△＞0可得k2＞

3

4

．設(shè)
M（x₁y₁），N（x₂，y₂），
解法一：利用求根公式解出x₁，x₂，利用S△BMN=

1

2

|x1-x2|•|BP|=

6

5

，解出k即可．
解法二：|MN|=|x1-x2|

1+k2

，B到l的距離d=

3

1+k2

．利用S△BMN=

1

2

•|MN|•d=

3

2

|x1-x2|=

6

5

，解出k即可．

解答： 解：（I）由橢圓的下頂點為B（0，-1）知b=1．
由B到焦點的距離為2知a=2．
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．
設(shè)Q（x，y），|BQ|=

x2+(y+1)2

=

4(1-y2)+(y+1)2

=

-3(y- 1 3 )2+ 16 3

(-1≤y≤1)．
∴當(dāng)y=

1

3

時，|BQ|max=

4 3

3

．
（II）由題設(shè)可知l的斜率必存在．
由于l過點P（0，2），可設(shè)l方程為y=kx+2．
聯(lián)立

y=kx+2 x2 4 +y2=1

消去y得（1+4k²）x²+16kx+12=0．
由△=（16k）²-48（1+4k²）=16（4k²-3）＞0⇒k2＞

3

4

．（*）
設(shè)M（x₁y₁），N（x₂，y₂），則x1，2=

-16k±4 4k2-3

2(1+4k2)

．
解法一：S△BMN=

1

2

|x1-x2|•|BP|=

6 4k2-3

1+4k2

=

6

5

．
解法二：|MN|=|x1-x2|

1+k2

，B到l的距離d=

3

1+k2

．
S△BMN=

1

2

•|MN|•d=

3

2

|x1-x2|=

6 4k2-3

1+4k2

=

6

5

．
解得k²=1或k2=

19

4

均符合（*）式．
∴k=±1或k=±

19

2

．
所求l方程為±x-y+2=0與±

19

x-2y+4=0．

點評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．