Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²，曲線y=f（x）過點P（-1，2），且在點P處的切線恰好與直線x-3y=0垂直．
（1）求a、b的值；
（2）若f（x）在區(qū)間[m，m+1]上單調(diào)遞增，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將P的坐標代入f（x）的解析式，得到關(guān)于a，b的一個等式；求出導函數(shù)，求出f′（1）即切線的斜率，利用垂直的兩直線的斜率之積為-1，列出關(guān)于a，b的另一個等式，解方程組，求出a，b的值．
（2）求出 f′（x），令f′（x）＞0，求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，據(jù)題意知[m，m+1]⊆（-∞，-2]∪[0，+∞），列出端點的大小，求出m的范圍．

解答：解：（1）∵y=f（x）過點P（-1，2），且在點P處的切線恰好與直線x-3y=0垂直
∴

f(-1)=2 f′(-1)=-3

⇒

-a+b=2 3a-2b=-3

⇒

a=1 b=3

．
（2）由題意得：f′（x）=3x²+6x=3x（x+2）＞0
解得x＞0或x＜-2．
故f（x）的單調(diào)遞增為（-∞，-2]和[0，+∞）．
 即m+1≤-2或m≥0，
故m≤-3或m≥0．

點評：注意函數(shù)在切點處的導數(shù)值是曲線的切線斜率；直線垂直的充要條件是斜率之積為-1．