Question

7．已知函數(shù)$f（x）=\frac{{3{x^2}+ax+26}}{x+1}$，若存在x∈N^*使得f（x）≤2成立，則實數(shù)a的取值范圍為（-∞，-15]．

Answer 1

分析 由題意可得3x²+（a-2）x+24≤0，即有2-a≥$\frac{{3x}^{2}+24}{x}$=3x+$\frac{24}{x}$，運用基本不等式求得到成立的條件，再由x的范圍，可得最小值，運用存在性問題的解法，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：f（x）≤2，即為 $\frac{{3x}^{2}+ax+26}{x+1}$≤2，
由x∈N^*，可得3x²+（a-2）x+24≤0，
即有2-a≥$\frac{{3x}^{2}+24}{x}$=3x+$\frac{24}{x}$，
由3x+$\frac{24}{x}$≥2 $\sqrt{3x•\frac{24}{x}}$=12$\sqrt{2}$，
當且僅當x=2$\sqrt{2}$∉N，
由x=2可得6+12=18；x=3時，可得9+8=17，
可得3x+$\frac{24}{x}$的最小值為17，
由存在x∈N^*使得f（x）≤2成立，
可得2-a≥17，
解得a≤-15．
故答案為：（-∞，-15]．

點評 本題考查不等式存在性問題的解法，注意運用參數(shù)分離和函數(shù)的最值的求法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．