Question

20．如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，BC=2AD=2DC，四邊形ABEF是正方形．將正方形ABEF沿AB折起到四邊形ABE₁F₁的位置，使平面ABE₁F₁⊥平面ABCD，M為AF₁的中點，如圖2．

（I）求證：AC⊥BM；
（Ⅱ）求平面CE₁M與平面ABE₁F₁所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）只需證明BE₁⊥AC．AC⊥AB且AB，可得AC⊥面ABE₁F₁，AC⊥MB．
（Ⅱ）以B為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系．
則A（1，1，0），B（0，0，0），C（2，0，0），E₁（0，0，$\sqrt{2}$），M（1，1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．利用向量求解

解答 解：（Ⅰ）證明四邊形ABE₁F₁是正方形，∴BE₁⊥AB．
平面ABE₁F₁⊥平面ABCD，平面ABE₁F₁∩平面ABCD=AB，BE₁?面ABE₁F₁
∴BE₁⊥平面ABCD，
∵AC?平面ABCD，∴BE₁⊥AC．
設(shè)AD=1，則AC=AB=$\sqrt{2}$，∴AC⊥AB且AB∩BE₁=B．
∴AC⊥面ABE₁F₁，又MB?面ABE₁F₁∴AC⊥MB．
（Ⅱ）如圖以B為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系．
則A（1，1，0），B（0，0，0），C（2，0，0），E₁（0，0，$\sqrt{2}$），M（1，1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
由題意得，$\overrightarrow{BM}=（1，1，\frac{\sqrt{2}}{2}）$，$\overrightarrow{C{E}_{1}}=（-2，0，\sqrt{2}）$，$\overrightarrow{{E}_{1}M}=（1，1，-\frac{\sqrt{2}}{2}）$，
設(shè)面CE₁M的一個法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{E}_{1}}=-2x+\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{E}_{1}M}=x+y-\frac{\sqrt{2}}{2}z=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}=（1，0，\sqrt{2}）$．
又平面ABE₁F₁得法向量為$\overrightarrow{AC}=（1，-1，0）$．
設(shè)平面CE₁M與平面ABE₁F₁所成銳二面角為θ．
cosθ=|cos$＜\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{n}＞$|=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
∴平面CE₁M與平面ABE₁F₁所成銳二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點評 本題考查了空間線線垂直的判定，向量法求二面角，轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．