已知函數(shù)f（x）=數(shù)學(xué)公式+x+（a-1）lnx-15a，其中a＜0，且a≠-1．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
（Ⅱ）設(shè)a＞-e10，且函數(shù)f（x）在[1，+∞）上的最小值為2，求a的值．

解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），．…（1分）
（ⅰ）當-1＜a＜0時，由f'（x）＞0得0＜x＜-a或x＞1；由f'（x）＜0得-a＜x＜1．
故f（x）在（0，-a），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（-a，1）上單調(diào)遞減．…（4分）
（ⅱ）當a＜-1時，由f'（x）＞0得0＜x＜1或x＞-a；由f'（x）＜0得1＜x＜-a．
故f（x）分別在（0，1），（-a，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，-a）上單調(diào)遞減． …（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當-1＜a＜0時，f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）在[1，+∞）上的最小值是f（1）=a+1-15a=2，∴． …（9分）
當a＜-1時，f（x）在[1，+∞）上的最小值是f（-a）=-1-a+（a-1）ln（-a）-15a=2，
即-16a-3+（a-1）ln（-a）=0，
下證滿足此式的a不存在．
設(shè)F（x）=16x-3-（x+1）lnx，其中x=-a∈（1，e10）．
∵，∴F（x）在（1，e10）上是增函數(shù)，
∴F（x）＞F（1）=13＞0，∴-16a-3+（a-1）ln（-a）＞0．
∴-16a-3+（a-1）ln（-a）=0無解
綜上，． …（12分）
分析：（Ⅰ）確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，分類討論，由導(dǎo)數(shù)的正負，可確定函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）分類討論：當-1＜a＜0時，f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，f（x）在[1，+∞）上的最小值是f（1）；當a＜-1時，f（x）在[1，+∞）上的最小值是f（-a），由此可得a的值．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對稱，求φ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x，
（1）求x＜0，時f（x）的表達式；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-a=o有解，求實數(shù)a的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=aInx-ax，（a∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（文科可參考公式：(Inx)′=
1
x
）
（2）若f′（2）=1，記函數(shù)g（x）=x3+x2•[f′(x)+
m
2
]，若g（x）在區(qū)間（1，3）上總不單調(diào)，求實數(shù)m的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2010的值為（　　）
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（-1，1）上的奇函數(shù)，且對于x∈（-1，1）恒有f’（x）＜0成立，若f（-2a2+2）+f（a2+2a+1）＜0，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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