Question

5．已知{a_n}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，{b_n}是等差數(shù)列，且a₁=b₁=1，b₂+b₃=2a₂，a₃-3b₂=2．
（1）求{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，求S_n和T_n的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，建立方程組關(guān)系求出公比和公差即可得到結(jié)論．
（2）根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）設(shè){a_n}的公比為q，{b_n}的公差為d，由題意q＞0，
由已知，有$\left\{{\begin{array}{l}{（1+d）+（1+2d）=2q}\\{{q^2}-3（1+d）=2}\end{array}}\right.$，
即$\left\{{\begin{array}{l}{-2q+3d=-2}\\{{q^2}-3d=5}\end{array}}\right.$，
消去d得：q²-2q-3=0，解得q=3或q=-1（舍去）
∴$d=\frac{4}{3}$，q=3，
所以{a_n}的通項(xiàng)公式為${a_n}={3^{n-1}}$，n∈N^*，
{b_n}的通項(xiàng)公式為${b_n}=\frac{4}{3}n-\frac{1}{3}$，n∈N^*．
（2）由（1）知a_n}的通項(xiàng)公式為${a_n}={3^{n-1}}$，n∈N^*，則數(shù)列為等比數(shù)列，則S_n=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$=$\frac{1}{2}$（3ⁿ-1），
{b_n}的通項(xiàng)公式為${b_n}=\frac{4}{3}n-\frac{1}{3}$，n∈N^*．則數(shù)列為等差數(shù)列，則T_n=$\frac{（1+\frac{4}{3}n-\frac{1}{3}）×n}{2}$=$\frac{2}{3}$n²+$\frac{1}{3}$n，
即${S_n}=\frac{1}{2}（{3^n}-1）$，${T_n}=\frac{2}{3}{n^2}+\frac{1}{3}n$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式的計(jì)算，利用方程組法求出等差和等比是解決本題的關(guān)鍵．比較基礎(chǔ)．