Question

10．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cosx，sinx），$\overrightarrow$=（cosx，2$\sqrt{3}$cosx），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）在銳角△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，tanB=$\frac{\sqrt{3}ac}{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}$，對任意滿足條件的A，求f（A）的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-1．利用向量的數(shù)量積的運算求解f（x），結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解單調(diào)性即可．
（Ⅱ）tanB=$\frac{\sqrt{3}ac}{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}$求解．

解答 解：（Ⅰ）向量$\overrightarrow{a}$=（2cosx，sinx），$\overrightarrow$=（cosx，2$\sqrt{3}$cosx），
函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-1．
則f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-1=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x$+\frac{π}{6}$）
由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，
解得：$\frac{π}{6}+kπ$≤x≤$\frac{2π}{3}+kπ$，（k∈Z）．
故得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[$\frac{π}{6}+kπ$，$\frac{2π}{3}+kπ$]，（k∈Z）
（Ⅱ）由tanB=$\frac{\sqrt{3}ac}{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}$，即：$\frac{sinB}{cosB}=\frac{\sqrt{3}ac}{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}$，
∵cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$
∴sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
又∵△ABC是銳角，
∴B=$\frac{π}{3}$．
則$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{2}$
由（Ⅰ）可知f（A）=2sin（2A$+\frac{π}{6}$）
那么：2A$+\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{7π}{6}$）
則sin（2A$+\frac{π}{6}$）∈（$-\frac{1}{2}$，1）
故得f（A）的取值范圍是（-1，2）

點評 本題考查了向量的數(shù)量積的運算和余弦定理的運用以及利用三角函數(shù)的有界限求解取值范圍的問題．屬于中檔題．